Instabilità modulazionale

Da "Fisica, onde Musica": un sito web su fisica delle onde e del suono, acustica degli strumenti musicali, scale musicali, armonia e musica.

In questa pagina esaminiamo, come esempio, un solo particolare effetto causato dalla presenza di una forza non lineare in una catena di oscillatori accoppiati. Esso è particolarmente rappresentativo di una classe di fenomeni chiamata "instabilità modulazionale", ed è al contempo

  1. un esempio paradigmatico
  2. semplice da realizzare e studiare in laboratorio
  3. semplice da simulare numericamente

Effetti non lineari nella catena di oscillatori accoppiati

Osservate attentamente la catena di pendoli accoppiati dalla molla sul supporto. Nei due casi il sistema è esattamente lo stesso, e cambia solo l'ampiezza iniziale del moto

piccola ampiezza iniziale grande ampiezza iniziale
sistema in regime lineare sistema in regime non lineare


Osservazioni

  • La condizione iniziale forza tutti i pendoli ad oscillare inizialmente all'unisono in entrambi i casi. Nei primi due periodi l'accoppiamento associato con la molla sul perno è trascurabile. Tuttavia si nota già l'effetto non lineare della forza di gravità, infatti il periodo delle oscillazioni è leggermente più lungo ad ampiezze maggiori (la legge di isocronia di Galileo è violata in questo caso)
  • Dopo poche oscillazioni l'effetto dell'accoppiamento diviene evidente, i pendoli risentono anche della forza di accoppiamento, e non si comportano più come se fossero indipendenti: i modi normali della catena cominciano ad emergere per risonanza.
  • La domanda quindi è: dove va l'energia? Cioè quali modi della catena saranno rinforzati e quali smorzati?
  • Osservando i due filmati possiamo vedere che la risposta a questa domanda dipende strettamente dall'importanza dei termini non lineari.

Dove va l'energia

  • Nel regime lineare (filmato a sinistra) l'oscillazione resta uniforme: tutti i pendoli continuano a oscillare insieme, con un'ampiezza che diminuisce lentamente a causa degli attriti. L'energia resta nel modo normale in cui è stata immessa all'inizio, quello in cui tutti i pendoli oscillano in fase.
  • Nel regime non lineare (filmato a destra) l'oscillazione uniforme si rompe dopo pochi periodi: alcuni pendoli quasi si fermano, mentre pochi altri, vicini tra loro, continuano a oscillare con grande ampiezza (uno arriva a superare l'orizzontale). L'energia, distribuita all'inizio in modo uniforme lungo la catena, si concentra spontaneamente in una piccola regione.
  • Questa è l'instabilità modulazionale: nel regime non lineare le piccole differenze di ampiezza tra un pendolo e l'altro, inevitabili nella realtà, non si attenuano ma crescono: l'oscillazione uniforme si trasforma in un'oscillazione la cui ampiezza varia ("è modulata") lungo la catena.
  • Perché l'energia resta poi concentrata in pochi pendoli? Se l'accoppiamento dipende solo dalla differenza tra gli spostamenti di pendoli vicini (come per una molla o un filo che li collega), nell'oscillazione uniforme l'accoppiamento non si deforma: questa oscillazione ha la frequenza propria del singolo pendolo, mentre in tutti gli altri modi normali lineari l'accoppiamento si deforma e aggiunge una forza di richiamo, che ne alza la frequenza. I pendoli che oscillano con grande ampiezza hanno invece un periodo più lungo, cioè una frequenza più bassa, che cade al di sotto di quelle di tutti i modi della catena: non possono quindi trasmettere la loro energia ai vicini per risonanza sotto forma di onde: la trattengono. Queste oscillazioni localizzate si chiamano breather discreti (letteralmente "respiri")[1].

Verifica la comprensione

Problema. Nei due filmati si può misurare la frequenza delle oscillazioni: nel regime lineare i pendoli oscillano a circa 1,51 Hz, nei primi secondi del regime non lineare (quando oscillano ancora tutti insieme) a circa 1,41 Hz. Di quanto è più lungo il periodo nel regime non lineare? Usando la formula del periodo del pendolo per grandi oscillazioni (pagina effetti non lineari), verifica che i pendoli sono stati lasciati partire con un'ampiezza di circa 60°. Soluzione. Il rapporto tra i periodi è 1,51/1,41 ≈ 1,07: il periodo è più lungo di circa il 7%. Con θmax = 60° si ha sin 30° = 0,5 e i primi termini della serie danno 1 + 1/4 · 0,25 + 9/64 · 0,0625 ≈ 1,07, in accordo con la misura.

Problema. Nel filmato non lineare, dopo che l'oscillazione uniforme si è rotta, i pochi pendoli che continuano a oscillare con grande ampiezza hanno una frequenza di circa 1,40-1,45 Hz, mentre gli altri oscillano a circa 1,6-1,7 Hz. Ricordando che la frequenza propria del singolo pendolo è circa 1,51 Hz, quale dei due gruppi oscilla secondo i modi normali lineari della catena? Perché l'altro gruppo non riesce a cedere la sua energia? Soluzione. I pendoli a 1,6-1,7 Hz: i modi normali lineari della catena hanno frequenze maggiori di quella del singolo pendolo. I pendoli con grande ampiezza oscillano invece al di sotto di tutte le frequenze dei modi lineari: non possono eccitarli per risonanza, quindi trattengono la loro energia (sono i breather discreti).

Problema. Nel filmato non lineare i pendoli, tutti uguali, partono insieme con la stessa ampiezza. Se la catena fosse perfettamente uniforme e la condizione iniziale perfettamente identica per tutti, l'oscillazione resterebbe uniforme? Perché nella realtà non accade? Soluzione. In linea di principio sì: l'oscillazione uniforme è una soluzione esatta delle equazioni del moto anche nel regime non lineare. Nel regime non lineare però questa soluzione è instabile: ogni minima differenza (nelle lunghezze dei pendoli, negli attriti, nella spinta iniziale) cresce nel tempo invece di attenuarsi. Nella realtà queste piccole differenze esistono sempre e l'oscillazione uniforme si rompe dopo pochi periodi.

Note

  1. ↑ S. Flach, A. V. Gorbach, "Discrete breathers — Advances in theory and applications", Physics Reports 467, 1-116 (2008), doi:10.1016/j.physrep.2008.05.002
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